المتتابعة الحسابية وقوانينها

ان علم الرياضيات من اكثر العلوم تشعبا وانتشارا فهو يستخدم فى سائر العلوم مثل الكيمياء والفيزياء والفضاء و الجينوم وغيرها كما انه يستخدم فى كافة المعاملات الحياتية فهو مفيد جدا لكل فرد ومعرفة اى معلومة فى علم الرياضيات يفيد الفرد فى حياته اليومية لذلك من دواعى سرورى ان اقدم لكم شرح مبسط باسلوب غير رياضى عن ما يسمى فى الرياضيات بالمتتابعة الحسابية.

المتتابعة الحسابية 

ان المتتابعة الحسابية عبارة عن تسلسل حسابى فهى تماما كاسئلة المرحلة الابتدائي التى تقول ... (اكمل بنفس التسلسل) .
و لفهم معنى المتتابعة الحسابية ناخذ فى الاعتبار المثال الاتى :

(33,27,21,15,9,3) 

وقد اُتُفِق فى الرياضيات ان كل عدد فى المتتابعة الحسابيية يسمى حدا اى ان (3)
هى حد و (27) ايضا حد وبالتالى فان الحد الاول (ح1) لهذه المتتابعة هو (3) و الحد الثانى(ح2)هو (9) والحد الاخير للمتابعة(ل) هو (33) .

و اُتُفِق ايضا على ان يرمز للحد الاول للمتتابعة بالرمز (أ) وللحد الاخير بالرمز (ل) والفرق بين اى حدين متتاليين هو (د) ويسمى الاساس حيث ح (ن+1) - ح (ن) = د  فمثلا  ح3 - ح2 =د و اتفق ايضا أن عدد حدود المتتابعة هو (ن).

قوانين المتتابعة الحسابية

قانون الجمع
و من ثم شرع العلماء فى وضع القوانين للمتتابعة الحسابية مثل قانون الجمع ويستخدم فى جمع جميع حدود المتتابعة الحسابية و قانون اخر لمعرفة قيمة حد معين فى متتابعة حسابية كبيرة جدا ... و بالتالى معرفة قيمة الحد الاخير اذا كان مجهولا .

اليكم قصة قصيرة للعالم الذى وضع قانون مجموع المتتابعة الحسابية و هو "كارل فريدريك جاوس" و هى من الطرائف التي تروى عنه فعندما كان في سن العاشرة من عمره قام باحداث شغب في الفصل هو و بعض اصدقائه فأراد المدرس أن يعاقبهم جميعا فأمرهم أن يقوموا بجمع الأعداد من 1 الى 100 
من المدهش انه بعد وقت قصير قدم "كارل فريدريك جاوس"  إجابة صحيحة لهذه المسألة و التي من المفترض أن تأخذ وقتاً طويلاً . 

وقد كان حل "كارل فريدريك جاوس" بسيطا جدا فقد نظر الى الارقام بمنظور اخر ....
فباعتبار ان هذه الارقام من 1 الى 100 تكون متتابعة حسابية فتكون:

(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .................... , 96 , 97 , 98 , 99 , 100)

وبالتالى فان مجموع المتتابعة هو (1+2+3+4+5+..........+96+97+98+99+100)
فنجد ان (1+100) = (2+99) = (3+98) = (4+97) = (5+96) ....الخ = 101

اى انه يمكن جمع هذه المتتابعة على النحو التالى :-
 (1+100) + (2+99) + (3+98) + (4+97) + (5+96) .....
= 101 + 101 + 101 + 101 + 101 +..........................

نلاحظ ان (101) تتكرر هنا 50 مرة وهو نصف عدد حدود المتتابعة اى ان مجموع المتتابعة يصبح 50 × 101 = 5050

وبوضع قانون لهذه العملية نجد انه يكون كالاتى :-

مجموع اى متتابعة حسابية يساوى نصف عدد الحدود مضروبا فى مجموع الحد الاول والحد الاخير او مجموع الحد الثانى والقبل الاخير او غيرها فيكون رياضيا هكذا : 

[ م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل ) ]

حيث (م) هو المجموع و (ن) عدد الحدود و (أ) هو الحد الاول و (ل) هو الحد الاخير .


قانون لمعرفة الحد المجهول فى المتتابعة الحسابية
وهناك قانون اخر لمعرفة قيمة اى حد مجهول فى المتتابعة الحسابية فمثلا فى المتتابعة الاتية :

 
(10 , 15 , 20 , ............. الى ما لا نهاية )

يكون الحد الاول 10 والحد الثانى 15 والاساس (د) =5  نلاحظ ان الحد الثانى = الحد الاول + الاساس و الحد الثالث = الحد الثانى +الاساس
اى ان الحد الثالث = الحد الاول + 2 الاساس
و بوضع قانون نجد ان الحد النونى اى الحد المجهول ( ح (ن) ) يعين من العلاقة الاتية
ح (ن)  =  أ + (ن - 1) × د
ح (3)  = 10+ (3 - 1) × 5 = 10 + 10 = 20

وهذا القانون يقوم بجمع الحد الاول و مجموع الاساس بين كل الحدود وصولا للحد المطلوب .

فلو اردنا مثلا معرفة قيمة الحد الخامس والعشرين نطبق القانون فيكون :

ح (25) = 10 + (25 - 1) × 5 = 10 + 120 = 130 

ومن الممكن ايضا التعويض بهذا القانون فى قانون الجمع عن الحد الاخير اذا كان مجهولا فى :
م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل )
فاذا كان عدد حدود المتتابعة الحسابية معلوم و الحد الاخير (ل) مجهول يكون
ل = ح (ن) =  أ + (ن - 1) × د
ويتم التعويض عنه فيتعين مجموع المتتابعة الحسابية من العلاقة  : 

م= ( ن÷2 ) × ( أ+ل )
= ( ن÷2 ) × (أ + أ + (ن - 1) × د )
اذا  م = ( ن÷2 ) × ( 2 أ + (ن - 1) × د ) وهذا يعتبر قانون اخر لمجموع المتتابعة الحسابية .

وهكذا اكون قد قدمت لكم قوانين المتتابعة الحسابية بطريق مبسطة  فاتمنى ان تكون قد نالت اعجابكم .

Share On Facebook





share

يمكنك نسخ الرابط لمنتدى او لتعليق او لاي موقع اخر:

إذا أعجبتك هذه المقالة